Transformations géodésiques en France Métropolitaine
1 Processus de changement de système
................................................................................................. 2
Coordonnées cartésiennes (X,Y,Z)
............................................ 3
Clarke 1880 IGN (Ellipsoïde associé au système NTF)
............................................................... 3
IAG GRS 80 (Ellipsoïde associé au système RGF93) et WGS84
.................................................. 4
International HAYFORD 1909 (Ellipsoïde associé au système ED50)
........................................... 4
Coordonnées cartésiennes (X,Y,Z)
............................................ 4
Remarques sur la fonction ATAN2
............................................................................................ 5
2 Transformation de coordonnées géographique en coordonnées planes
................................................ 6
Transformations par grille de paramètres
............................................................................................ 7
............................................................................................ 9
......................................................................................... 10
Latitude à partir de la latitude isométrique
......................................................................................... 10
Coordonnées géographiques RGF93 vers CC 9 zones
...................................................................... 13
CC 9 zones vers coordonnées géographiques RGF93
....................................................................... 13
4 Logiciel de transformation de coordonnées : Circé France
.................................................................. 14
IGN / SGN Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 1 / 15
1 Processus de changement de système
1.1 Définitions
On entend par changement de système géodésique la transformation qui permet d'exprimer les coordonnées cartésiennes, géographique ou planes d'un point dans un autre système géodésique. Il peut être détaillé selon un modèle général.
coordonnées du système A
cartésiennes (X,Y,Z)
▲
▼ géographiques (λ,ρ,h)
▲
▼
modèle de transformation
◄
► similitude 3D à 7 paramètres
►
◄
► formules de Molodensky
► planes (E,N,H)
► transformation polynomiale
►
coordonnées du système B
cartésiennes (X,Y,Z)
▲
▼ géographiques (λ,ρ,h)
▲
▼ planes (E,N,H)
Le plus utilisé est la similitude 3D car elle présente l'avantage de pouvoir être utilisée dans les deux sens : les mêmes paramètres servent à transformer des coordonnées du système A vers le système B et réciproquement, moyennant une simple inversion de signe.
Les
formules de Molodensky
sont des développements limités dont, par nature, l'ordre influe sur la précision finale. Le passage inverse nécessite l'application de formules différentes.
La
transformation polynomiale
ne peut s'appliquer que sur des zones restreintes afin de conserver une précision comparable à celle obtenue par une similitude 3D.
1.2 Similitude 3D à 7 paramètres
Compte tenu des faibles rotations utilisées en géodésie, les formules pour passer du système A au système B sont :
X
B
Y
B
Z
B
X
Y
A
Z
A
A
T
X
T
Y
T
Z
X
A
Y
A
Z
A
0
Y
Z
Z
0
X
Y
X
0
X
A
Y
A
Z
A
2 / 15 Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 IGN / SGN
1.3 Modèle « à 7 paramètres »
Les 7 paramètres sont 3 translations (T
X
, T
Y
, T
Z
), 3 rotations (
X
,
Y
,
Z
) et un facteur d'échelle (
Concernant le signe des rotations et dans toutes ses publications, l'IGN utilise la convention de l'IERS
1
qui consiste à amener les axes du système d'arrivée en parallèle à ceux du système de départ. Cette convention est
systèmes d'information géographique (SIG), les signes des rotations doivent être inversés.
L'IGN utilise les symboles
R
1
,
R
2
et
R
3
pour les rotations exprimées selon la convention IERS, afin de les différencier des notations
x
,
y
, et
z
qui sont plus couramment utilisées. La formule de transformation de coordonnées cartésiennes peut alors s'écrire (T étant le vecteur translation et
le facteur d'échelle) :
X
'
T
( 1
)
X
R
X
avec
R
0
R
3
R
2
0
R
R
3
1
R
2
R
1
0
x
et on obtient
z y
R
1
R
2
R
.
3
1.4 Coordonnées géographiques (
,
,h)
► Coordonnées cartésiennes (X,Y,Z)
X = (N+h) cos
cos
Y = (N+h) cos
sin
Z = (N(1-e²) + h) sin
e
2
a
2
a
2
b
2
W
2 sin
2
N
a
W
a
1
e
2
W
3
r
N
cos
Les paramètres de l'ellipsoïde associé aux coordonnées sont indispensables à ces calculs.
1.4.1 Clarke 1880 IGN (Ellipsoïde associé au système NTF)
demi grand axe (a) demi petit axe (b)
1
International Earth Rotation and Reference Systems Service ( http://www.iers.org/ )
IGN / SGN Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013
6 378 249,2 m
6 356 515,0 m
3 / 15
1.4.2 IAG GRS 80 (Ellipsoïde associé au système RGF93)
demi grand axe (a) aplatissement (f)
6 378 137,0 m
1 / 298,257 222 101
1.4.3 WGS84
demi grand axe (a) aplatissement (f)
6 378 137,0 m
1 / 298,257 223 563
Les ellipsoïdes WGS84 et IAG GRS80 ont été définis de la même manière, plus mathématiquement, par le demi grand axe a et l'harmonique zonal du second degré J2 (pour GRS80) et C20 arrêté au 8ème chiffre significatif
(pour WGS84
). Cette différence explique l’écart de 0.0001 m constaté sur b.
1.4.4 International HAYFORD 1909 (Ellipsoïde associé au système ED50)
demi grand axe (a) aplatissement (f)
6 378 388,0 m
1 / 297
1.5 Géométrie de l'ellipsoïde
À partir de a et f ci-dessus, il est possible de calculer le demi-petit axe b et l’excentricité e de l'ellipsoïde. b
a ( 1
f ) e
a
2
b
2 a
2
1.6 Coordonnées cartésiennes (X,Y,Z)
► Coordonnées géographiques (
,
,h)
1.6.1 Formules de conversion
f
1 1
e
2
R
X
2
Y
2
Z
2
ATAN
2 (
Y
,
X
)
h
arctg
arctg
Z
X
2
Y
2
1
f
2
e a
R
Z
1
f
2
e a
sin
3
1
2
2
2
f X Y e a
cos
3
X
2
Y
2
cos
Z
sin
a
e
2
1 sin
2
Source : Bowring, 1985, The accuracy of geodetic latitude and height equations, Survey Review, 28, pp202-206 (modifié pour
l’expression de
)
4 / 15 Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 IGN / SGN
1.6.2 Remarques sur la fonction ATAN2
En trigonométrie, la fonction
atan2 à deux arguments
est une variation de la fonction arctangente (arctan, aussi notée arctg dans ce document). Pour tout arguments réels x et y non nuls, atan2(y,x) est l'angle (en radians) entre la partie positive de l'axe des x d'un plan et le point de ce plan aux coordonnées (x,y). Cet angle est positif pour les angles dans le sens trigonométrique (moitié haute du plan, y > 0) et négatif dans le sens horaire (moitié basse du plan, y < 0).
L’expression d’atan2 en fonction de arctan est :
Attention :
traditionnellement, atan2(0,0) est non défini.
IGN / SGN Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 5 / 15
2 Transformation de coordonnées géographiques en coordonnées planes
Ces transformations dépendent de formules spécifiques à chaque projection. Elles ne sont pas détaillées ici mais les algorithmes des projections utilisées en France sont disponibles sur le
site de la géodésie de l’IGN
.
2.1 Transformations standard
2.1.1
NTF ◄► WGS84
A partir des éléments de géodésie spatiale Doppler des années 1970 et 1980, un modèle réduit à 3 paramètres
(translation) a été établi entre la NTF et le système WGS84. Aucune rotation ou défaut d'échelle globaux n'ont pu
être mis en évidence.
T
X
T
T
Y
Z
168
60
320
Ces paramètres, valables sur la France, sont officiellement définies par l'IGN dans le document
« RT/G n°14 :
Nouveaux systèmes géodésiques utilisables en France (WGS84, ED87) »
.
La précision de ce modèle à l'époque de sa détermination était estimée à environ 2 m. Les déterminations effectuées lors l'établissement du RBF (environ 1000 points dans les systèmes RGF93 et NTF) confirment les valeurs de translation (à 20 cm près) et la précision annoncée avec des valeurs extrêmes inférieures à 5 m.
Cette transformation, dite « standard » et notée « T0 », a été adoptée dans la quasitotalité des traitements jusqu’à la mise à disposition de la transformation « par grille de paramètres ».
2.1.2 NTF
◄► ED50
T
X
T
Y
T
Z
84
37
437
La précision de ce modèle à l'époque de sa détermination était estimée à environ 2 m. Il existe plusieurs jeux de paramètres de transformation entre NTF et ED50. Celui-ci donne les valeurs officielles définies par l'IGN pour la
France dans le document
« RT/G n°7 : Définition des systèmes géodésiques utilisés en France (NTF, ED50,
WGS72) »
.
2.1.3 ED50
◄► WGS84
T
X
T
Y
T
Z
84
97
117
La précision de ce modèle à l'époque de sa détermination a été estimée à environ 2 m. Cette transformation est issue de la composition des transformations ED50
►WGS72 et WGS72►WGS84. Ces paramètres de transformation sont officiellement définis par l'IGN dans les documents
RT/G n°14
et
RT/G n°7
.
6 / 15 Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 IGN / SGN
2.2 Transformations par grille de paramètres
2.2.1 NTF
◄► RGF93
Dans le contexte de l’établissement d'un nouveau système géodésique de référence pour la France métropolitaine
(le RGF93), l’IGN a développé un nouveau processus de transformation de coordonnées de manière à faciliter le passage de la NTF au RGF93. Le principe du processus de transformation est l'interpolation dans un semis de points régulièrement répartis, une grille de paramètres tridimensionnels de translation entre systèmes.
La grille de paramètres de transformation de coordonnées NTF
◄► RGF93 est la grille GR3DF97A au pas régulier de 0.1° en longitude et latitude. Elle est fournie sous forme d'un fichier texte (ASCII).
GR3D 002024 024 20370201
GR3D1 -5.5000 10.0000 41.0000 52.0000 .1000 .1000
GR3D2 INTERPOLATION BILINEAIRE
GR3D3 PREC CM 01:5 02:10 03:20 04:50 99>100
-5.500000000 41.000000000 -165.027 -67.100 315.813 99 -0158
-5.500000000 41.100000000 -165.169 -66.948 316.007 99 -0157
-5.500000000 41.200000000 -165.312 -66.796 316.200 99 -0157
Entête du fichier
GR3D
(codes IGN)
002024 : 002(NTF) [vers] 024(RGF93)
024 : RGF93
20370201 : 2 (coordonnées géographiques)
– 037 (ellipsoïde IAG GRS 80)
– 02 (degrés décimaux) – 01 (méridien international de Greenwich)
GR3D1 longitude minimale
– longitude maximale – latitude minimale – latitude maximale – pas en longitude et en latitude en degrés décimaux (ici les deux pas de grilles sont égaux : 0.1°).
GR3D2
GR3D3 mode d'interpolation (ici, bilinéaire) codes de précision de la transformation
Corps du fichier (
1 enregistrement par nœud de la grille)
longitude, latitude en degrés décimaux
T
X
, T
Y
,T
Z paramètres de transformation de coordonnées cartésiennes (translation) de NTF vers RGF93 code de précision xx feuille au 50000e -xxxx
: feuille à l’échelle du 1 / 50000 existante
L : feuille fictive en limite de zone d'application de la grille
- : feuille fictive hors zone d'application de la grille
La grille de paramètres est exprimée en longitude et latitude dans le système géodésique RGF93 (ellipsoïde IAG
GRS80, méridien international, degrés décimaux) et les 3 paramètres de transformation sont donnés en mètres dans le sens NTF
► RGF93. Ils correspondent aux coordonnées de l'origine de la NTF exprimées en RGF93.
IGN / SGN Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 7 / 15
Le processus de transformation de coordonnées dépend donc du sens de la transformation. L'interpolation est directe à partir des coordonnées géographiques dans le sens RGF93
► NTF. Dans le sens inverse, elle nécessite
un premier calcul approché utilisant les paramètres de la transformation standard (T0) .
Schéma du processus de transformation de coordonnées utilisant la grille de paramètres GR3DF97A
8 / 15 Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 IGN / SGN
3 Algorithmes
3.1 Constantes Lambert France
Lambert I Lambert II Lambert III n
0,7604059656 0,7289686274 0,6959127966
C
11603796,98 11745793,39 11947992,52
X
S
Y
S
600000,000
5657616,674
(*)
600000,000
6199695,768
(*) Lambert II étendu : Lambert II avec YS = 8199695,768 m
0
= 0 grades Paris (soit 2° 20' 14,025" E Greenwich)
600000,000
6791905,085 e = 0,08248325676
Lambert IV
0,6712679322
12136281,99
234,358
7239161,542
3.2 Lambert zone
► Lambert zone
Attention :
cet algorithme ne peut pas être utilisé avec le Lambert 93
… en entrée
n, C, XS, YS : constantes de la projection (avec indices
I et F pour « initial » et « final »)
XI, YI : coordonnées Lambert initiales
… en sortie
XF, YF : coordonnées Lambert finales
F
=
n
F
n
I arctan
X
SI
Y
I
X
Y
SI
I
£ =
1
n
I
ln
C
I
(
X
I
X
SI
)
2
(
Y
I
Y
SI
)
2
RF = CF exp(
n
F
£ )
X
F
= X
SF
+ R
F
sin
F
Y
F
= Y
SF
R
F
cos
F
Application numérique :
Lambert I ► Lambert 2 étendu
X
I
= 750000,00 m
Y
I
= 300000,00 m
X
IIétendu
= 750283,12 m
Y
IIétendu
= 2600360,77 m
3.3 Lambert
► coordonnées géographiques
… en entrée
n, C, XS, YS : constantes de la projection
0 : longitude du méridien central e : excentricité de l'ellipsoïde
X, Y : coordonnées Lambert
… en sortie
: longitude, latitude
Lambert 93
0,7256077650
11754255,426
700000,000
12655612,050
IGN / SGN Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 9 / 15
| R | =
(
S
)
2
( Y Y
S
)
2
= arctan
X
X
S
Y
S
Y
0
+
n
£ =
1
n
ln
R
C
= £
-1
( £, e )
NB : £-1(£,e) représente la latitude isométrique inverse, obtenue à l'aide de l'algorithme
latitude à partir de la latitude isométrique
Application numérique : Lambert I
► Coordonnées NTF
X = 1 029 705,083 m
Y = 272 723,849 m
(rad) = 0,145512099 E
(rad) = 0,872664626 N
3.4 Coordonnées géographiques
► Lambert
… en entrée
n, C, XS, YS : constantes de la projection
0 : longitude du méridien central e : excentricité de l'ellipsoïde
: longitude, latitude
£ =
1
2 ln
1
1
sin sin
e
2 ln
1
1
e
sin
e
sin
… en sortie
X, Y : coordonnées Lambert
R = C exp(
n £)
= n (
0)
X = XS + R sin
Y = YS
R cos
Application numérique :
Coordonnées NTF ► Lambert 2
= 0,4721669 gr E Paris
= 51,8072313 gr N
X = 632 542,058 m
Y = 180 804,145 m
3.5 Latitude à partir de la latitude isométrique
… en entrée
£ : latitude isométrique e : excentricité de l'ellipsoïde
… en sortie
: latitude
10 / 15 Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 IGN / SGN
0 =
2 arctan ( exp ( £ ) )
2
est obtenu par itérations successives
i
=
2 arctan( (
1
1
e
sin
e
sin
i
1
i
1
)
e
Application numérique
£ = 1,005 526 536 48 e = 0,081 991 889 98 exp ( £ ) )
2
(rad) = 0,872 664 626 00
Paramètres des projections coniques conformes de Lambert
Lambert I
Zone d'application (latitude)
Latitude origine
Longitude origine
Parallèles automécoïques
Eo
No
Facteur d'échelle de 57,0 gr à 53,5 gr
55 gr (49°30')
(*) 0 gr Paris
48°35'54,682"
50°23'45,282"
600 000 m
200 000 m
0,999 877 34
Lambert IV
Lambert II de 53,5 gr à 50,5 gr
52 gr (46°48')
(*) 0 gr Paris
45°53'56,108"
47°41'45,652"
600 000 m
200 000 m
0,999 877 42
Lambert II étendu
Zone d'application (latitude)
Latitude origine
Longitude origine
Parallèles automécoïques
Eo
No
Facteur d'échelle de 47,8 gr à 45,9 gr
46,85 gr (42°09'54")
(*) 0 gr Paris
41°33'37,396"
42°46'03,588"
234,358 m
185 861,369 m
0,999 944 71
(*) 0 grade Paris = 2° 20' 14,025" Est Greenwich
Lambert I, II, III, IV, II étendu
de 57,0 gr à 45,9 gr
52 gr (46°48')
(*) 0 gr Paris
45°53'56,108"
47°41'45,652"
600 000 m
2 200 000 m
0,999 877 42
Référentiel géodésique
Ellipsoïde
Demi grand axe (a)
Aplatissement (f)
Première excentricité (e)
NTF
Clarke 1880 IGN
6 378 249,2 m
1 / 293,466 021
0,082 483 256 76
IGN / SGN Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013
Lambert III de 50,5 gr à 47,0 gr
49 gr (44°06')
(*) 0 gr Paris
43°11'57,449"
44°59'45,938"
600 000 m
200 000 m
0,999 877 50
Lambert 93 de 41° à 51°
46°30'
3° 00' est Grenwich
44°
49°
700 000 m
6 600 000 m
0,999 051 03
Lambert 93
RGF93
IAG GRS 80
6 378 137,00 m
1/298,257 222 101
0,081 819 191 12
11 / 15
Paramètres des projections Coniques Conformes 9 Zones (CC 9 Zones)
Latitude origine :
0
Zone d'application
Parallèle automécoïque
1
Parallèle automécoïque
2
Longitude origine ou méridien central de la projection :
0
E
0
N
0
(*) NZ : numéro de la zone (de 1 à 9)
(*) 41+NZ°
0
+/- 111 km
0
- 0.75°
0
+ 0.75°
3 ° Est Greenwich
1 700 000 m
(*) (NZ * 1 000 000) +200 000 m
12 / 15 Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 IGN / SGN
3.6 Coordonnées géographiques RGF93 vers CC 9 Zones
… en entrée
0
,
1
,
2
, E
0
, N
0
: paramètres de la projection
0 : longitude du méridien central a
: demi grand axe de l’ellipsoïde
e : excentricité de l'ellipsoïde
: longitude, latitude RGF93
L(
,e) =
1
2 ln
1
1
sin sin
e
2 ln
1
1
e
sin
e
sin
n
X
S
ln
E
0
1
1
e
2
e
2
L
(
1
,
a a
sin
e
)
2 sin
2
2
1
cos(
2
cos(
1
)
)
L
(
2
,
e
)
R = C exp(
n L
,e
)
X = XS + R sin
… en sortie
X, Y : coordonnées CC 9 Zones
C
Y
S a
1
e
2 sin
2
1
cos(
1
)
exp(
n
L
(
1
,
e
)
n
N
0
c
exp(
n
L
(
0
,
e
))
= n (
0 )
Y = YS
R cos
3.7 CC 9 Zones vers coordonnées géographiques RGF93
… en entrée
0
,
1
,
2
, E
0
, N
0
: paramètres de la projection
0 : longitude du méridien central e : excentricité de l'ellipsoïde
… en sortie
: longitude, latitude RGF93
X, Y : coordonnées CC 9 Zones
n
X
S
ln
1
e
2
1
e
2
L
(
1
a a
sin
2 sin
2
,
e
)
2
1
cos(
2
) cos(
1
)
L
(
2
,
e
)
X
0
C
a
1
e
2 sin
2
1
cos(
1
)
exp(
n
L
(
1
,
e
)
n
| R | =
(
S
)
2
( Y Y
S
)
2
Y
S
=
Y
0
arctan
c
exp(
n
X
X
S
Y
S
Y
L
(
0
,
e
))
£ =
1 ln
n
0
+
n
R
C
= £
-1
( £, e )
NB : £-1( £, e ) représente la latitude isométrique inverse, obtenue à l'aide de l'algorithme
latitude à partir de la latitude isométrique
IGN / SGN Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 13 / 15
4 Logiciel de transformation de coordonnées : Circé France
Circé France convertit des coordonnées géographiques ou cartographiques d'un système de coordonnées dans un autre depuis l’émergence du Réseau Géodésique Français, en permettant l’accès au système RGF93 et aux références d’altitudes IGN69 (et IGN78 pour la Corse).
Un système de coordonnées sert à décrire et identifier les coordonnées des différentes publications géodésiques ou cartographiques (fiches signalétiques, cartes topographiques...). Il comprend le référentiel (ou système
géodésique de référence), le type de coordonnées (cartésiennes X, Y, Z ; géographiques
,
, h
e
; planes E, N), les unités et le méridien origine
2
et la projection cartographique
3
.
Des transformations multiples
Circé France propose des paramètres standards de transformation (notamment entre WGS84 et NTF) ainsi que des conversions par grille de transformation de coordonnées fournissant les paramètres de translation (T
X
, T
Y
, T
Z
) entre RGF93 et NTF. La précision des paramètres standards est métrique et celle de la grille est centimétrique.
Circé France réalise la majeure partie des transformations de coordonnées sur la France. Il traite les coordonnées planes telles que Lambert (I, II, III, IV), Lambert-93, Coniques Conformes 9 zones, UTM fuseaux 30, 31 et 32, les coordonnées géographiques et les transformations entre les systèmes ED50, WGS84, NTF et RGF93.
Des altitudes précises
La composante verticale prise en compte peut être une altitude ou une hauteur audessus de l’ellipsoïde de référence lié à l’un des systèmes géodésiques concernés par la transformation. L’altitude d’un point de la France métropolitaine est calculée avec les surfaces de conversion issues du modèle de géoïde le plus récent : la
Référence des Altitudes Françaises 2009 (RAF09) et la Référence des Altitudes de la Corse 2009 (RAC09).
Précision
La précision obtenue sur les coordonnées transformées peut varier entre le mètre et le millimètre. Une estimation en est fournie par le logiciel, mais l’exactitude est liée à plusieurs facteurs :
•
la précision des coordonnées des points dans le système géodésique initial,
•
la définition intrinsèque du système,
•
la définition relative du système par rapport aux autres, c’est-à-dire le choix des points communs et des processus utilisés lors de l'élaboration des paramètres de transformation.
2
pour des coordonnées géographiques
3
pour les coordonnées planes
14 / 15 Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 IGN / SGN
Selon le type de coordonnées choisi, Circé France offre la possibilité de choisir unités métriques, degrés sexagésimaux, degrés et minutes décimales, grades ou encore radians.
Une installation et une utilisation simples
L’installation de
Circé France nécessite un PC avec 16 Mo de RAM disponibles et 10 Mo de ROM. Il fonctionne avec les systèmes Windows courants.
Circé France fonctionne en mode manuel pour des conversions ponctuelles ou en mode fichier pour des traitements par lots de points. L'utilisateur spécifie les caractéristiques des coordonnées en entrée (moitié haute de la fenêtre) et en sortie (moitié basse de la fenêtre). Il est en outre possible d’éditer un rapport de l’opération, structuré pour l’impression.
Des versions en mode commande et pour Linux sont également disponibles.
Circé France est téléchargeable gratuitement sur geodesie.ign.fr
IGN
• Service de Géodésie et Nivellement
Information Géodésique
(+33) 1 43 98 83 17 sgn@ign.fr
Contact commercial
IGN / SGN Transformation entre systèmes géodésiques / version 3 / 2013 15 / 15
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